Aljabar Boole
A. SEJARAH
A. SEJARAH
Pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris yaitu George Boole pada tahun 1854. Dalam buku The Laws of Thought George Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika (logika Boolean). Kemudian dikembangkan oleh William Jevons (1835-1882) yang merupakan dasar dari pengoperasian elektronika.
B. DEFINISI ALJABAR BOOLE
B. DEFINISI ALJABAR BOOLE
Aljabar Bolean merupakan aljabar yang terdiri atas suatu himpunan B dengan dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut.
Aljabar Boolean atau biasa disebut juga sebagai Aljabar Biner, yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua macam konstanta, yaitu ‘0’ dan ‘1’.
CATATAN:
Perbedaan aljabar boole dengan proposisi :
Pada proposisi penulisan pernyataan bernilai Benar ditulis “B” dan Salah ditulis “S”.
Pada Ajabar Boole penulisan pernyataan bernilai Benar ditulis “1” dan Salah ditulis “0”
C. OPERATOR DASAR
Aljabar Boolean atau biasa disebut juga sebagai Aljabar Biner, yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua macam konstanta, yaitu ‘0’ dan ‘1’.
CATATAN:
Perbedaan aljabar boole dengan proposisi :
Pada proposisi penulisan pernyataan bernilai Benar ditulis “B” dan Salah ditulis “S”.
Pada Ajabar Boole penulisan pernyataan bernilai Benar ditulis “1” dan Salah ditulis “0”
C. OPERATOR DASAR
1. OPERATOR BINER
• Operator AND
Notasi Aljabar Boole adalah tanda titik ( . )
Pada proposisi notasinya ( ˄ )
• Operator OR
Notasi Aljabar Boole adalah tanda tambah ( + )
Pada proposisi notasinya ( ˅ )
Notasi Aljabar Boole adalah tanda titik ( . )
Pada proposisi notasinya ( ˄ )
• Operator OR
Notasi Aljabar Boole adalah tanda tambah ( + )
Pada proposisi notasinya ( ˅ )
2. OPERATOR UNER
• Operator NOT
Notasi Aljabar Boole adalah tanda petik tunggal ( ‘ ) atau tanda garis atas ( ˉ ). Tanda-tanda tersebut menyatakan komplemen. Pada proposisi notasinya (~)
D. AKSIOMA ALJABAR BOOLE
Notasi Aljabar Boole adalah tanda petik tunggal ( ‘ ) atau tanda garis atas ( ˉ ). Tanda-tanda tersebut menyatakan komplemen. Pada proposisi notasinya (~)
D. AKSIOMA ALJABAR BOOLE
Untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau hukum-hukum yang tidak dibuktikan (unproved axioms) atau yang lebih dikenal dengan postulat Huntington berikut:
NO HUKUM ARTI
NO HUKUM ARTI
1. CLOSURE a + b B
a b B
2. IDENTITAS a + 0 = a
a 1 = a
3. KOMUTATAIF a + b = b + a
4. DISTRIBUTIF a (b + c) = (a b) + (a c)
a + (b c) = (a + b) (a + c)
(a . b) + c = (a + c ) (b + c)
5. KOMPLEMEN a + a’ = 1
a a’ = 0
Terdapat paling sedikit dua buah elemen, a dan b B sedemikian sehingga a ≠ b
Terdapat perbedaan antara aljabar Boole dengan aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil :
1. Hukum distributif + dan . seperti pada a + (b c) = (a + b) (a + c) benar untuk aljabar Boole, tetapi
tidak benar untuk aljabar biasa,
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan. Karena itu
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan. Karena itu
tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
3. Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut memenuhi postulat Huntington.
CONTOH SOAL :
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
3. Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut memenuhi postulat Huntington.
CONTOH SOAL :
1. Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boole :
a(a‘ + b) = ab
Penyelesaian:
a(a‘ + b) = aa‘ + ab (distributif)
= 0 + ab (komplemen)
= ab (identitas)
2. Misalkan x, y¸ z B, buktikan bahwa xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ = x
a(a‘ + b) = ab
Penyelesaian:
a(a‘ + b) = aa‘ + ab (distributif)
= 0 + ab (komplemen)
= ab (identitas)
2. Misalkan x, y¸ z B, buktikan bahwa xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ = x
Penyelesaian:
xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ = x
x = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
= xy (z + z’) + xy’ (z + z’) (distributif)
= xy . 1 + xy’ . 1 (komplemen)
= xy + xy’
= x ( y + y’) (distributif)
= x . 1 (komplemen)
= x
E. HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLE
xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ = x
x = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
= xy (z + z’) + xy’ (z + z’) (distributif)
= xy . 1 + xy’ . 1 (komplemen)
= xy + xy’
= x ( y + y’) (distributif)
= x . 1 (komplemen)
= x
E. HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLE
Untuk setiap a, b, c B berlaku hokum-hukum Aljabar Boole sebagai berikut :
NO HUKUM ARTI
1. HUKUM IDENTITAS a + 0 = a
a 1 = a
2. HUKUM IDEMPOTEN a + a = a
a a = a
3. HUKUM KOMPLEMEN a + a’ = 1
a . a’ = 0
4. HUKUM DOMINANSI a . 0 = 0
a + 1 = 1
5. HUKUM INVOLUSI (a’)’ = a
6. HUKUM PENYERAPAN a + (a .b) = a
a . (a + b) = a
7. HUKUM KOMUTATIF a + b = b + a
a . b = b . a
8. HUKUM ASOSIATIF a + (b + c) = (a + b) + c
a . (b . c) = (a. b) . c
9. HUKUM DISTRIBUTIF a + (b . c) = (a + b) (a + c)
a . (b + c) = (a . b ) + ( a . c )
NO HUKUM ARTI
1. HUKUM IDENTITAS a + 0 = a
a 1 = a
2. HUKUM IDEMPOTEN a + a = a
a a = a
3. HUKUM KOMPLEMEN a + a’ = 1
a . a’ = 0
4. HUKUM DOMINANSI a . 0 = 0
a + 1 = 1
5. HUKUM INVOLUSI (a’)’ = a
6. HUKUM PENYERAPAN a + (a .b) = a
a . (a + b) = a
7. HUKUM KOMUTATIF a + b = b + a
a . b = b . a
8. HUKUM ASOSIATIF a + (b + c) = (a + b) + c
a . (b . c) = (a. b) . c
9. HUKUM DISTRIBUTIF a + (b . c) = (a + b) (a + c)
a . (b + c) = (a . b ) + ( a . c )
10. HUKUM DE MORGAN (a + b)’ = a’. b’
(a . b)’ = a’ + b’
11. HUKUM 0 / 1 0’ = 1
1’ = 0
CATATAN :
Tanda titik ( ) menyatakan perkalian dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
Contoh : a(b + c) = ab + ac
a + bc = (a + b) (a + c)
a 0 , bukan a0
CONTOH SOAL :
1. Buktikan a + a’b = a + b
(a . b)’ = a’ + b’
11. HUKUM 0 / 1 0’ = 1
1’ = 0
CATATAN :
Tanda titik ( ) menyatakan perkalian dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
Contoh : a(b + c) = ab + ac
a + bc = (a + b) (a + c)
a 0 , bukan a0
CONTOH SOAL :
1. Buktikan a + a’b = a + b
Penyelesaian
a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 . b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
2. Buktikan hukum idempoten a a = a pada Aljabar Boole
a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 . b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
2. Buktikan hukum idempoten a a = a pada Aljabar Boole
Penyelesaian :
a a = a a + 0 (identitas)
= a a + a a’ (komplemen)
= a ( a + a’) (distributif)
= a 1 (komplemen)
= a (identitas)
F. ALJABAR BOOLEAN DUA NILAI
a a = a a + 0 (identitas)
= a a + a a’ (komplemen)
= a ( a + a’) (distributif)
= a 1 (komplemen)
= a (identitas)
F. ALJABAR BOOLEAN DUA NILAI
Aljabar boolean dua-nilai (two-valued Boolean algaebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan dua buah elemen B = {0,1}, dengan operator biner ( + ) dan ( . ) Serta operator uner ( ‘ )
TABEL KEBENARAN
a b a b A b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Pembuktian memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : berlaku karena a + b B dan a . b B
2. Identitas:
(i) a + 0 = a → 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) a . 1 = a → 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif:
jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif:
a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel kebenaran:
a b
c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Kesimpulan:
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan Aljabar Boolean.
CATATAN :
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
CONTOH SOAL :
Perlihatkan dengan tabel kebenaran bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
G. PRINSIP DUALITAS
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka dualnya dapat diperoleh dengan cara mengganti :
. dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
TABEL KEBENARAN
a b a b A b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Pembuktian memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : berlaku karena a + b B dan a . b B
2. Identitas:
(i) a + 0 = a → 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) a . 1 = a → 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif:
jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif:
a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel kebenaran:
a b
c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Kesimpulan:
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan Aljabar Boolean.
CATATAN :
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
CONTOH SOAL :
Perlihatkan dengan tabel kebenaran bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
G. PRINSIP DUALITAS
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka dualnya dapat diperoleh dengan cara mengganti :
. dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya.
CATATAN :
Dual dari S juga biasa dilambangkan dengan S*
CATATAN :
Dual dari S juga biasa dilambangkan dengan S*
CONTOH SOAL:
Tentukan dual dari:
1) (a 1) . (0 + a’) = 0
2) a(a‘ + b) = ab
3) a + 0 = a
Tentukan dual dari:
1) (a 1) . (0 + a’) = 0
2) a(a‘ + b) = ab
3) a + 0 = a
Penyelesaian:
1) (a 1) . (0 + a’) = 0
1) (a 1) . (0 + a’) = 0
dengan cara mengubah: . dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
maka (a 1) . (0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1
2) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
3) a + 0 = a dualnya a . 1 = a
KESIMPULAN
2) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
3) a + 0 = a dualnya a . 1 = a
KESIMPULAN
Aljabar Bolean merupakan aljabar yang terdiri atas suatu himpunan B dengan dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut. Aljabar Boolean atau biasa disebut juga sebagai Aljabar Biner, yaitu suatu sistem aljabar yang hanya memiliki dua macam konstanta, yaitu ‘0’ dan ‘1’. Pada Ajabar Boole penulisan pernyataan bernilai Benar ditulis “1” dan Salah ditulis “0”. Pada aljabar boolean terdapat dua operator, yaitu operator biner dan operator uner.
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan :
a. Elemen-elemen himpunan B
b. Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
c. Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut memenuhi postulat Huntington.
a. Elemen-elemen himpunan B
b. Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner
c. Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut memenuhi postulat Huntington.
Dalam Aljabar Boolean juga terdapat prinsip Dualitas. Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
. dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar.
S* disebut sebagai dual dari S.
B. Saran
Dalam pembuatan makalah ini tentunya masih banyak kekurangan maka dari itu untuk melengkapi makalah ini diharap pembaca menggunakan materi atau sumber lain yang dapat memperjelas atau melengkapi kekurangan.
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung : CV. Informatika
http://ketinggalan.files.wordpress.com
http://file.upi.edu
http://www.google.co.id
. dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar.
S* disebut sebagai dual dari S.
B. Saran
Dalam pembuatan makalah ini tentunya masih banyak kekurangan maka dari itu untuk melengkapi makalah ini diharap pembaca menggunakan materi atau sumber lain yang dapat memperjelas atau melengkapi kekurangan.
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung : CV. Informatika
http://ketinggalan.files.wordpress.com
http://file.upi.edu
http://www.google.co.id
0 Response to "Aljabar Boole"
Posting Komentar