EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. Bentuk Pangkat
1. Pangkat Bulat Positif
Definisi:
Jika a bilangan real (a ∈ R) dan n bilangan bulat positif lebih besar dari 1 (n ∈ A, n > 1), maka
perkalian sembarang a sebnyak n kali adalah an (dibaca a pangkat n).
Dalam bentuk matematika ditulis sebagai:
Keterangan:
a= bilangan pokok
n= pangkat (eksponen)
a^n= dibaca a pangkat n
Contoh:
Nyatakan dalam bentuk perkalian berulang
Bilangan a disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen
Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n ∈ A dan a, b ∈ R, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
Sifat perkalian
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari 2^3.2^5 !
Penyelesaian:
2^3.2^5 = 2^(3+5) = 2^8
Sifat pembagian
dengan a ≠ 0 dan m > n
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari !
Sifat pemangkatan
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari
Sifat perkalian dan pemangkatan
Contoh:
Sifat pembagian dan pemangkatan
dengan b ≠ 0
Contoh:
Tentukan hasil dari !
Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Pangkat Bulat Negatif
Definisi:
Untuk setiap a ∈ R, a ≠ 0, dan n bilangan bulat negatif berlaku.
Bukti:
Pangkat Nol
Definisi:
Untuk setiap a ∈ R, a ≠ 0 berlaku a0 = 1
Bukti:
Contoh:
Nyatakan tidak dengan pangkat nol atau negatif.
Penyelesaian:
Pangkat Pecahan
Suatu bilangan berpangkat yang pangkatnya berupa pecahan disebut bilangan berpangkat pecahan. Bilangan berpangkat pecahan adalah bilangan berpangkat tak sebenarnya. Hal ini karena nilainya tidak dapat dinyatakan dengan perkalian berulang.
Sifat:
Jika a bilangan real , m bilangan bulat, n bilangan asli dan n> 2, maka :
Bukti:
Contoh:
Nyatakan bentuk pangkar berikut ke dalam bentuk akar!
Penyelesaian:
Bentuk Akar
Dalam matematika, banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan ke dalam fungsi atau persamaan yang mengandung bentuk akar. Dalam mempelajari bentuk akar sebaiknya kita haruslah mengerti tentang pengertian bilangan irrasional.
Pengertian Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian a/b dengan a dan b bilangan bulat b≠0.
Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan di bawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Ada dua jenis bentuk akar, yaitu:
Akar senama
Akar senama adalah akar-akar yang mempunyai pangkat akar yang sama. Pada akar-akar senama dapat dilakukan oprasi perkalian atau pembagian.
Contoh:
√2 senama dengan √5, karena kedua bilangan tersebut memiliki pangkat akar yang sama, yaitu 2.
∛psenama dengan ∛q, karena kedua bilangan tersebut memiliki pangkat akar yang sama, yaitu 3.
Akar sejenis
Akar sejenis adalah akar-akar senama yang mempunyai bilangan pokok (radikan) yang sama. Pada akar-akar sejenis dapat dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Contoh:
√2 sejenis dengan 3√2 (radikannya sama, yaitu 2.
4∛5 sejenis dengan 20∛5 (radikannya sama, yaitu 5.
Bilangan Rasional
Definisi
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan dan B = himpunan bilangan bulat
Contoh:
Bilangan Irasional
Definisi
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan dan B = himpunan bilangan bulat
Contoh:
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan pengurangan akar
Sifat:
Untuk setiap a, b ∈ R dan c ∈ R, maka berlaku:
Contoh:
Perkalian bentuk aljabar
Sifat:
Untuk setiap a, b, c, d ∈ R dan c, d > 0, maka berlaku:
Bukti:
Sederhanakanlah perkalian bentuk akar berikut!
Menyederhanakan Bentuk
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan penyebut pecagan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan oleh suatu bentuk akar, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dengan penyebut, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dari penyebut, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Menyederhanakan Bentuk
Menyederhanakan akar pangkat dapat dilaukan dengan cara membagi atau mengalikan
Perhatikan uraian berikut ini!
Jadi dapat kita peroleh kesimpulan sebagai berikut:
Contoh:
Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasionalkan pecahan yang berbentuk dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan .
Contoh:
Penyelesaian:
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasionalkan bentuk dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan dan Sebaliknya, bentuk sekawan dari adalah sehingga
Contoh:
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasioanalkan pecahan yang berbentuk , dilakukan dengan cara melakukan perkalian dengan . Sebaliknya, bentuk sekawan dari adalah sehingga
Contoh:
Menyelesaiakan persamaan bilangan berpangkat sederhana dengan bilangan pokok yang sama.
Suatu persamaan yang pangkatnya mengandung variabel disebut persamaan pangkat atau eksponen. Berikut ini contoh-contoh persamaan pangkat sederhana.
2x = 16
62x + 1 = 36
43x = √64
102x = 1.000
92x-1 = 27
Contoh-contoh persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk af(x)=an. untuk menentukan nilai x, maka digunakan sifat berikut:
Sifat:
Jika af(x)= abdengan a ∈ R (a ≠ 0 dan a ≠ 1) maka f(x) = p
Contoh:
Tentukan nilai x pada persamaan-persamaan berikut!
4x = 64
42x+1 = 64
Penyelesaian:
4x = 64
22.x = 26
2x = 6
x = 3
42x + 1 = 64
22(2x + 1) = 26
4x + 2 = 6
4x = 6 – 2
4x = 4
x = 1
Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Definisi:
Jika b = ac maka a log b = c, dan sebaliknya a log b = c maka b = ac. hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
Dengan:
a = bilangan pokok atau basis a > 0, a ≠ 1
b = numerus (yang dicari nilai logaritmanya). x > 0
c = hasil logaritma
(a log b dibaca “logaritma b dengan basis a”)
Sifat-Sifat Logaritma
Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka:
a log a = 1
a log 1 = 0
a log an = n
Beberapa Operasi Logaritma
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠1, dan b > 0, berlaku
Bukti:
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka:
Contoh:
Untuk a, b dan c bilangan real dengan a > 0. a ≠ 1, dan b > 0, berlaku
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka:
Contoh:
Untuk a, b, dan n bilangan real a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku
Bukti:
Contoh:
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1, berlaku
Berdasarkan definisi diperoleh:
Terdapat bilangan pokok c sedemikian sehingga:
=
Contoh:
Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠1 dan c≠ 1, berlaku
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Contoh:
Untuk a dan b bilangan real positif a ≠ 1, berlaku
Bukti:
Contoh:
DAFTAR PUSTAKA
Endang, Susetyowati. 2008. Aljabar Elementer. Yogyakarta. Universitas PGRI Yogyakarta.
Gumilar, Hendi Senja. 2008. Matematika 1 Kelompok Seni Pariwisata dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK/MAK. Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008.
Sukino. 2007. MATEMATIKA Untuk SMA Kelas X, Jakarta: Erlangga
Indonesia. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Matematika Buku Guru Kementrian Pendidikan Jakarta . 2013
A. Bentuk Pangkat
1. Pangkat Bulat Positif
Definisi:
Jika a bilangan real (a ∈ R) dan n bilangan bulat positif lebih besar dari 1 (n ∈ A, n > 1), maka
perkalian sembarang a sebnyak n kali adalah an (dibaca a pangkat n).
Dalam bentuk matematika ditulis sebagai:
Keterangan:
a= bilangan pokok
n= pangkat (eksponen)
a^n= dibaca a pangkat n
Contoh:
Nyatakan dalam bentuk perkalian berulang
Bilangan a disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen
Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n ∈ A dan a, b ∈ R, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
Sifat perkalian
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari 2^3.2^5 !
Penyelesaian:
2^3.2^5 = 2^(3+5) = 2^8
Sifat pembagian
dengan a ≠ 0 dan m > n
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari !
Sifat pemangkatan
Bukti:
Contoh:
Tentukan hasil dari
Sifat perkalian dan pemangkatan
Contoh:
Sifat pembagian dan pemangkatan
dengan b ≠ 0
Contoh:
Tentukan hasil dari !
Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Pangkat Bulat Negatif
Definisi:
Untuk setiap a ∈ R, a ≠ 0, dan n bilangan bulat negatif berlaku.
Bukti:
Pangkat Nol
Definisi:
Untuk setiap a ∈ R, a ≠ 0 berlaku a0 = 1
Bukti:
Contoh:
Nyatakan tidak dengan pangkat nol atau negatif.
Penyelesaian:
Pangkat Pecahan
Suatu bilangan berpangkat yang pangkatnya berupa pecahan disebut bilangan berpangkat pecahan. Bilangan berpangkat pecahan adalah bilangan berpangkat tak sebenarnya. Hal ini karena nilainya tidak dapat dinyatakan dengan perkalian berulang.
Sifat:
Jika a bilangan real , m bilangan bulat, n bilangan asli dan n> 2, maka :
Bukti:
Contoh:
Nyatakan bentuk pangkar berikut ke dalam bentuk akar!
Penyelesaian:
Bentuk Akar
Dalam matematika, banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan ke dalam fungsi atau persamaan yang mengandung bentuk akar. Dalam mempelajari bentuk akar sebaiknya kita haruslah mengerti tentang pengertian bilangan irrasional.
Pengertian Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian a/b dengan a dan b bilangan bulat b≠0.
Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan di bawah tanda akar yang apabila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Ada dua jenis bentuk akar, yaitu:
Akar senama
Akar senama adalah akar-akar yang mempunyai pangkat akar yang sama. Pada akar-akar senama dapat dilakukan oprasi perkalian atau pembagian.
Contoh:
√2 senama dengan √5, karena kedua bilangan tersebut memiliki pangkat akar yang sama, yaitu 2.
∛psenama dengan ∛q, karena kedua bilangan tersebut memiliki pangkat akar yang sama, yaitu 3.
Akar sejenis
Akar sejenis adalah akar-akar senama yang mempunyai bilangan pokok (radikan) yang sama. Pada akar-akar sejenis dapat dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Contoh:
√2 sejenis dengan 3√2 (radikannya sama, yaitu 2.
4∛5 sejenis dengan 20∛5 (radikannya sama, yaitu 5.
Bilangan Rasional
Definisi
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan dan B = himpunan bilangan bulat
Contoh:
Bilangan Irasional
Definisi
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan dan B = himpunan bilangan bulat
Contoh:
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan pengurangan akar
Sifat:
Untuk setiap a, b ∈ R dan c ∈ R, maka berlaku:
Contoh:
Perkalian bentuk aljabar
Sifat:
Untuk setiap a, b, c, d ∈ R dan c, d > 0, maka berlaku:
Bukti:
Sederhanakanlah perkalian bentuk akar berikut!
Menyederhanakan Bentuk
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan penyebut pecagan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan oleh suatu bentuk akar, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dengan penyebut, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Pecahan Bentuk
Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dari penyebut, sehingga diperoleh penyebut rasional.
Contoh:
Menyederhanakan Bentuk
Menyederhanakan akar pangkat dapat dilaukan dengan cara membagi atau mengalikan
Perhatikan uraian berikut ini!
Jadi dapat kita peroleh kesimpulan sebagai berikut:
Contoh:
Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasionalkan pecahan yang berbentuk dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan .
Contoh:
Penyelesaian:
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasionalkan bentuk dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan dan Sebaliknya, bentuk sekawan dari adalah sehingga
Contoh:
Pecahan yang berbentuk
Untuk merasioanalkan pecahan yang berbentuk , dilakukan dengan cara melakukan perkalian dengan . Sebaliknya, bentuk sekawan dari adalah sehingga
Contoh:
Menyelesaiakan persamaan bilangan berpangkat sederhana dengan bilangan pokok yang sama.
Suatu persamaan yang pangkatnya mengandung variabel disebut persamaan pangkat atau eksponen. Berikut ini contoh-contoh persamaan pangkat sederhana.
2x = 16
62x + 1 = 36
43x = √64
102x = 1.000
92x-1 = 27
Contoh-contoh persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk af(x)=an. untuk menentukan nilai x, maka digunakan sifat berikut:
Sifat:
Jika af(x)= abdengan a ∈ R (a ≠ 0 dan a ≠ 1) maka f(x) = p
Contoh:
Tentukan nilai x pada persamaan-persamaan berikut!
4x = 64
42x+1 = 64
Penyelesaian:
4x = 64
22.x = 26
2x = 6
x = 3
42x + 1 = 64
22(2x + 1) = 26
4x + 2 = 6
4x = 6 – 2
4x = 4
x = 1
Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Definisi:
Jika b = ac maka a log b = c, dan sebaliknya a log b = c maka b = ac. hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
Dengan:
a = bilangan pokok atau basis a > 0, a ≠ 1
b = numerus (yang dicari nilai logaritmanya). x > 0
c = hasil logaritma
(a log b dibaca “logaritma b dengan basis a”)
Sifat-Sifat Logaritma
Misalkan a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka:
a log a = 1
a log 1 = 0
a log an = n
Beberapa Operasi Logaritma
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠1, dan b > 0, berlaku
Bukti:
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka:
Contoh:
Untuk a, b dan c bilangan real dengan a > 0. a ≠ 1, dan b > 0, berlaku
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Dengan mengalikan nilai b dengan c, maka:
Contoh:
Untuk a, b, dan n bilangan real a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku
Bukti:
Contoh:
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1, berlaku
Berdasarkan definisi diperoleh:
Terdapat bilangan pokok c sedemikian sehingga:
=
Contoh:
Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠1 dan c≠ 1, berlaku
Berdasarkan definisi maka diperoleh:
Contoh:
Untuk a dan b bilangan real positif a ≠ 1, berlaku
Bukti:
Contoh:
DAFTAR PUSTAKA
Endang, Susetyowati. 2008. Aljabar Elementer. Yogyakarta. Universitas PGRI Yogyakarta.
Gumilar, Hendi Senja. 2008. Matematika 1 Kelompok Seni Pariwisata dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK/MAK. Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008.
Sukino. 2007. MATEMATIKA Untuk SMA Kelas X, Jakarta: Erlangga
Indonesia. Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Matematika Buku Guru Kementrian Pendidikan Jakarta . 2013
0 Response to "Eksponen dan Logaritma"
Posting Komentar