A. Latar belakang
Banyak hal yang dapat kita bicarakan mengenai masalah himpunan. Salah satu diantaranya adalah Ordinalitas. Dalam sehari – hari kita banyak menjumpai tentang bilangan ordinal yakni bilangan urutan. Misalnya, kesatu, kedua, ketiga, keempat,dan seterusnya. Bilangan ordinal diperoleh dengan menambahkan “ke” kepada nama bilangan asli. Kata – kata sebagai “berikutnya”, “terakhir”, dan sebagainya dapat juaga disebut bilangan ordinal. Misalnya untuk menunjukkan anggota yang kedudukannya tepat dibelakang suatu anggota tertentu dipakai kata “berikutnya”.
Sebagai contohnya yakni anak pertama adalah Ali, anak berikutnya adalah Umar. Untuk menunjukkan anggota yang paling belakang dalam suatu deretan dipakai kata “terakhir”.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh dari ordinal yaitu ordinal nomor (linguistic) yaitu sebuah kata yang mewakili pangkat nomor.Ordinal skala adalah skala pengukuran yang dapat digunakan untuk menyatakan peringkat antar bilangan ,Ordinal indikator adalah tanda berdekatan dengan menunjukkan kemunculan angka yang merupakan nomor urut, Ordinal angka dalam menetapkan teori, jenis nomor dengan struktur rangka, Ordinal tangga bentuk sederhana dari mengekspresikan tanggal hanya menggunakan tahun dan jumlah hari dalam tahun itu dan sebagainya.
Sebagai contohnya yakni anak pertama adalah Ali, anak berikutnya adalah Umar. Untuk menunjukkan anggota yang paling belakang dalam suatu deretan dipakai kata “terakhir”.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh dari ordinal yaitu ordinal nomor (linguistic) yaitu sebuah kata yang mewakili pangkat nomor.Ordinal skala adalah skala pengukuran yang dapat digunakan untuk menyatakan peringkat antar bilangan ,Ordinal indikator adalah tanda berdekatan dengan menunjukkan kemunculan angka yang merupakan nomor urut, Ordinal angka dalam menetapkan teori, jenis nomor dengan struktur rangka, Ordinal tangga bentuk sederhana dari mengekspresikan tanggal hanya menggunakan tahun dan jumlah hari dalam tahun itu dan sebagainya.
B. Tujuan
Setelah mempelajari materi pokok bahasan ini, pembaca di harapkan :
a. Mampu menggunakan pemahaman dasar suatu makna ordinalitas dengan benar.
b. Mampu melakukan hitungan–hitungan yang berkaitan dengan operasi-operasi ordinalitas.
c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal ordinalitas.
d. Mengaplikasikan pada kehidupan sehari-sehari.
C. Ruang lingkup materi
Dalam makalah ini akan dibahas tentang konsep-konsep relasi yang meliputi pengertian ordinalitas, struktur ordinalitas, ketaksamaan ordinal, operasi-operasi ordinalitas.
a. Mampu menggunakan pemahaman dasar suatu makna ordinalitas dengan benar.
b. Mampu melakukan hitungan–hitungan yang berkaitan dengan operasi-operasi ordinalitas.
c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal ordinalitas.
d. Mengaplikasikan pada kehidupan sehari-sehari.
C. Ruang lingkup materi
Dalam makalah ini akan dibahas tentang konsep-konsep relasi yang meliputi pengertian ordinalitas, struktur ordinalitas, ketaksamaan ordinal, operasi-operasi ordinalitas.
PEMBAHASAN
Ordinalitas
A. Himpunan Terorde Baik
Ordinalitas
A. Himpunan Terorde Baik
Sebuah himpunan dikatakan terorde baik jika subhimpunan dari himpuanan yang mengandung sebuah elemen pertama dari himpunan tersebut.
Misalkan A adalah sebuah himpunan terorde dengan sifat bahwa setiap subhimpunan dari A. Jika subhimpunan ( a, b) dari A , maka mengandung sebuah elemen pertama yang mendahului elemen yang lain.
Contoh :
A1 = { 1,3,5, . . .} dan A2 = { 2, 4, 6, . . .}
A1 = { 1,3,5, . . .} dan A2 = { 2, 4, 6, . . .}
Merupakan terorde baik. Maka gabungan ( yang di orde dari kiri ke kanan )
A1 ᴗ A2 = { 1,3,5, . . . : 2, 4, 6, . . . }
B. Pengertian Ordinalitas
A1 ᴗ A2 = { 1,3,5, . . . : 2, 4, 6, . . . }
B. Pengertian Ordinalitas
Ordinal artinya terurut, atau terorde baik.
Dengan symbol : *A ( Ordinal bilangan A)
Bilangan ordinal atau bilangan – bilangan urutan adalah bilangan yang mempunyai sub himpunan (elemen) yang terorde baik.
Contoh :
Misalkan A adalah sembarang himpunan terorde baik dan misalkan ᵧ menyatakan keluar ke himpunan terorde baik yang serupa dengan A.
C. Struktir Bilangan Ordinal
Bilangan ordinal atau bilangan – bilangan urutan adalah bilangan yang mempunyai sub himpunan (elemen) yang terorde baik.
Contoh :
Misalkan A adalah sembarang himpunan terorde baik dan misalkan ᵧ menyatakan keluar ke himpunan terorde baik yang serupa dengan A.
C. Struktir Bilangan Ordinal
Bilangan ordinal sesuai dengan ordenya . Dengan ordinal berhingga sebagai berikut:
0, 1, 2, 3, . . .
0, 1, 2, 3, . . .
Kemudian muncul ordinal limit pertama ω, dan penggatinya
ω, ω + 1, ω + 2, . . .
ω, ω + 1, ω + 2, . . .
Bilangan limit selanjutnya muncul limit kedua ω2 dan penggantinya
ω2, ω2 +1, ω2 + 2, ω2 + 3, . . .
ω2, ω2 +1, ω2 + 2, ω2 + 3, . . .
Bilangan limit berikutnya adalah adalah ω3
ω3, ω3+1, ω3+2, . . . , ω4 , . . . , ω5, . . . , . . . , ωω = ω2
ω3, ω3+1, ω3+2, . . . , ω4 , . . . , ω5, . . . , . . . , ωω = ω2
Disini ωω = ω2 adalah bilangan limit mengikuti bilangan limit ω n, dimana n ∈ N. Dan dapat dilanjutkan :
ω2, ω2+1, . . ., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, . . . , ω2 + ω2, . . . , ω2 + ω3, . . . , ω2 + ω2 = ω22
ω2, ω2+1, . . ., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, . . . , ω2 + ω2, . . . , ω2 + ω3, . . . , ω2 + ω2 = ω22
Kemudian
ω22, . . . , ω23, . . . , ω24, . . . ω2 ω = ω3
ω22, . . . , ω23, . . . , ω24, . . . ω2 ω = ω3
Maka kita mempunyai pangkat dari Ѡ :
ω3, ω3 + 1, . . . , ω4 , . . . , ω5, . . . , . . . , ω ω
ω3, ω3 + 1, . . . , ω4 , . . . , ω5, . . . , . . . , ω ω
Disini ωω adalah bilingan limit setelah bilangan limit ωn, dimana n ∈ N maka,
ωω, . . . , (ωω ) ω, . . . ,( (ω ω ) ω) ω), . . . , . . .
ωω, . . . , (ωω ) ω, . . . ,( (ω ω ) ω) ω), . . . , . . .
Setiap bilangan ordinal yang sudah kita hitung masih merupakan bilangan ordinal sebuah himpunan denumerable
- Von Neumann definisi ordinals
Definisi standar, disarankan oleh John von Neumann, adalah setiap ordinal adalah himpunan yang tertib dari semua ordinals kecil. Dalam simbol, λ = [0, λ) [2] Secara formal.
- Von Neumann definisi ordinals
Definisi standar, disarankan oleh John von Neumann, adalah setiap ordinal adalah himpunan yang tertib dari semua ordinals kecil. Dalam simbol, λ = [0, λ) [2] Secara formal.
Perhatikan bahwa bilangan asli adalah ordinals menurut definisi ini.
Misal :
2 adalah elemen dari 4 = {0, 1, 2, 3}, dan 2 adalah sama dengan {0, 1} dan sehingga merupakan subhimpunan dari {0, 1, 2, 3}.
Sebuah ordinal adalah terbatas jika dan hanya jika urutan sebaliknya juga baik dan berorde, yang terjadi jika dan hanya jika setiap himpunan bagian yang sudah maksimal.
D. Ketaksamaan Bilangan ordinal
Sebuah ordinal adalah terbatas jika dan hanya jika urutan sebaliknya juga baik dan berorde, yang terjadi jika dan hanya jika setiap himpunan bagian yang sudah maksimal.
D. Ketaksamaan Bilangan ordinal
Misalkan λ dan µ adalah bilangan ordinal A dan B adalah dua himpunan terorde baik sehingga :
λ = ord (A) dan µ = ord (B)
λ < µ
λ = ord (A) dan µ = ord (B)
λ < µ
Jika A serupa dengan sebuah segmen permulaan dari B
Maka, untuk λ = ord (A) dan µ = orde (B) :
λ < µ jika A lebih pendek daripada B
λ = µ jika A serupa dengan B
λ > µ jika A lebih panjang dengan B
λ < µ jika λ < µ atau λ = µ
λ > µ jika λ > µ atau λ = µ
Maka, untuk λ = ord (A) dan µ = orde (B) :
λ < µ jika A lebih pendek daripada B
λ = µ jika A serupa dengan B
λ > µ jika A lebih panjang dengan B
λ < µ jika λ < µ atau λ = µ
λ > µ jika λ > µ atau λ = µ
Contoh :
1. A = { a1 , a2 , . . . , an } dan B = { b1, . . . , bm }
1. A = { a1 , a2 , . . . , an } dan B = { b1, . . . , bm }
Urut Pengordean dimulai menurut kedudukan dari kiri ke kanan .
Jika n lebih kecil sama dengan m, maka A serupa dengan segmen permulaan { b1, . . . , bn } dari B. Maka ord ( A ) lebih kecil sama dengan ord ( B ).
Dengan kata lain, n < m dan sebagai bilangan – bilangan ordinal jika hanya jika n < m sebagi bilangan – bilangan asli. Jadi hubungan adalah sebuah perluasaan dari hubungan ketaksamaan dalam himpunan bilangan asli.
2. Misalkan λ= ord ({ 1,3,5, . . . ; 2,4,6, . . . }).
Jika n lebih kecil sama dengan m, maka A serupa dengan segmen permulaan { b1, . . . , bn } dari B. Maka ord ( A ) lebih kecil sama dengan ord ( B ).
Dengan kata lain, n < m dan sebagai bilangan – bilangan ordinal jika hanya jika n < m sebagi bilangan – bilangan asli. Jadi hubungan adalah sebuah perluasaan dari hubungan ketaksamaan dalam himpunan bilangan asli.
2. Misalkan λ= ord ({ 1,3,5, . . . ; 2,4,6, . . . }).
Karena N, yakni bilangan asli, serupa dengan segmen permulaan { 1,3,5, . . .} , maka ω < λ Sebarang himpunan bilangan ordinal terorde total menurut hubungan ketaksamaan untuk bilangan ordinal λ < µ.
Dengan buktinya :
Misalkan λ adalah sebarang bilangan ordinal dan s (λ) menyatakan himpunan bilangan ordinal yang lebih kecil dari λ. Maka s (λ) adalah himpunan terorde baik, sehingga ord (s (λ) ) ada.
Misalkan λ adalah sebarang bilangan ordinal dan s (λ) menyatakan himpunan bilangan ordinal yang lebih kecil dari λ. Maka s (λ) adalah himpunan terorde baik, sehingga ord (s (λ) ) ada.
E. Aritmatika pada Bilangan Ordinal
1. Penambahan Ordinal
Misalkan λ dan µ adalah bilangan-bilangan ordinal, sehingga µ = ord( A ) dan ω = ord ( B ). Maka :
Contoh :
x = ord ({ 1, 2, 3 }) dan y = ord ({ a1, …., an }). Maka :
x + y = ord ({a1, …., an ; 1, 2, … }) = x
tetapi : y + x = ord ({1, 2, … ; a1, …., an}) > x
Syarat - Syarat dalam Penambahan Ordinal :
(1) Penambahan bilangan ordinal memenuhi hukum asosiatif
(2) Jika Ordinal 0 adalah sebuah elemen satuan aditif
Contoh :
λ = ord { 1, 2, 3 } , Maka 0 + λ = ( λ )*
2. Perkalian Ordinal
Misalkan λ dan µ adalah bilangan-bilangan ordinal, sehingga µ = ord( A ) dan ω = ord ( B ). Maka :
Contoh :
x = ord ({ 1, 2, 3 }) dan y = ord ({ a1, …., an }). Maka :
x + y = ord ({a1, …., an ; 1, 2, … }) = x
tetapi : y + x = ord ({1, 2, … ; a1, …., an}) > x
Syarat - Syarat dalam Penambahan Ordinal :
(1) Penambahan bilangan ordinal memenuhi hukum asosiatif
(2) Jika Ordinal 0 adalah sebuah elemen satuan aditif
Contoh :
λ = ord { 1, 2, 3 } , Maka 0 + λ = ( λ )*
2. Perkalian Ordinal
Misalkan λ dan µ adalah bilangan-bilangan ordinal, sehingga µ = ord ( A ) dan Ѡ = ord ( B ),
Maka :
Syarat- Syarat dalam Operasi Perkalian Bilangan Ordinal :
(1) Hukum Asosiatif
(2) Hukum distributive
(3) Ordinal 1 adalah elemen satuan multiplikatif
KESIMPULAN
A. SIMPULAN
Dalam makalah ini telah dibahas materi mengenai Ordinalitas khususnya ordinal, Pengertian
Maka :
Syarat- Syarat dalam Operasi Perkalian Bilangan Ordinal :
(1) Hukum Asosiatif
(2) Hukum distributive
(3) Ordinal 1 adalah elemen satuan multiplikatif
KESIMPULAN
A. SIMPULAN
Dalam makalah ini telah dibahas materi mengenai Ordinalitas khususnya ordinal, Pengertian
Ordinalita,Struktur Ordinalitas, Aritmatika Bilangan Ordinalitas
B. SARAN
B. SARAN
Kami mengharapkan pembaca mencari referensi-referensi yang mengacu pada materi relasi agar lebih
memahami materi ini.
DAFTAR PUSTAKA
Patur, silaban . 1985. Teori Himpunan. Jakarta : Erlangga
Munir, rinaldi. 2001.Matematika Diskrit. Bandung : CV Informatika
Patrick, suppes. 1993. Introduction to Logic. Mac milian publishing co.inc.new york
DAFTAR PUSTAKA
Patur, silaban . 1985. Teori Himpunan. Jakarta : Erlangga
Munir, rinaldi. 2001.Matematika Diskrit. Bandung : CV Informatika
Patrick, suppes. 1993. Introduction to Logic. Mac milian publishing co.inc.new york
0 Response to "Ordinalitas"
Posting Komentar